Некоторые сведения из алгебры матриц

Прямоугольная таблица, составленная из частей (в личном случае чисел) и имеющая m строк и n столбцов, именуется матрицей размера m x n. Элементы этой матрицы обозначаются через , где i – номер строчки, а j – номер столбца, на скрещении которых находится этот элемент:

Если в матрице число строк не равно числу столбцов, другими словами Некоторые сведения из алгебры матриц m¹n, то матрица именуется прямоугольной. Матрица, имеющая только одну строчку, другими словами m=1, именуется матрицей-строкой (либо вектором-строкой):

Матрица, имеющая только один столбец, другими словами n=1, именуется матрицей-столбцом (либо вектором-столбцом):

Матрицу-строку либо матрицу-столбец именуют вектором и обозначают

либо .

Числа х1, х2, …, хn Некоторые сведения из алгебры матриц именуются координатами (либо элементами) вектора Х. потому что число координат вектора есть, по определению, его размерность, то вектор Х является n-мерным. Трёхмерный вектор R обозначается:

.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, другими словами m=n, то матрица именуется квадратной.

Главной диагональю квадратной матрицы именуется Некоторые сведения из алгебры матриц диагональ, проходящая через верхний левый и нижний правый углы, другими словами совокупа частей вида aii, где i=1,2,…,n.

Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, именуется диагональной. Эта матрица имеет последующий вид:

Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, именуется Некоторые сведения из алгебры матриц единичной. Единичная матрица обозначается:

Индекс n показывает на порядок единичной матрицы.

Квадратная матрица, в какой все элементы размещены симметрично относительно главной диагонали, именуется симметричной. Для симметричной матрицы aij=aji (i¹1), к примеру:

Матрица, все элементы которой равны нулю, именуется нулевой и обозначается через О. если необходимо указать число строк Некоторые сведения из алгебры матриц и столбцов, то записывают:

Две матрицы и именуются равными, если: 1) они 1-го и такого же размера; 2) надлежащие элементы этих матриц равны меж собой. Таким макаром, если:

и aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.), то А=В.

Суммой 2-ух матриц 1-го и такого же размера именуется матрица такого же размера Некоторые сведения из алгебры матриц, элементы которой Сij равны суммам соответственных частей aij=bij матриц А и В, другими словами сij=aij+bij.

Разность матриц определяется аналогично сумме, только у частей вычитаемой матрицы символ изменяется на обратный: D=A-B; dij=aij-bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.).

Произведением матрицы на число a именуется Некоторые сведения из алгебры матриц матрица, элементы которой получаются умножением всех частей матрицы на число a:

Матрица –А=(-1)А именуется обратной матрице А.

Сложение матриц подчиняется последующим законам:

А+(В+С)=(А+В)+С; А+В=В+А; А+0=А; А+(-А)=0.

Произведение матрицы на число подчиняется последующим законам:

1×А=А; 0×А=0; a(bА Некоторые сведения из алгебры матриц)=(ab)×А.

Произведением А×В 2-ух матриц:

,

имеющих соответственно размеры m x n и n x q, именуется матрица

размера m x q. Матрица С= А×В определена только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Чтоб получить элементы сij, стоящий в i-й строке и Некоторые сведения из алгебры матриц j-м столбце произведения 2-ух матриц, необходимо элементы i-й строчки первой матрицы помножить на надлежащие элементы j-го столбца 2-ой и приобретенные произведения сложить:

сij=ai1b1j+ ai2b2j+…+ ainbnj (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.).

К примеру, с23=a21b13+ a22b23+…+ a2nbn3, с41=a Некоторые сведения из алгебры матриц41b11+ a42b21+…+ a4nbn1, и т.п.

=

Произведение матриц подчиняется последующим законам:

А(ВС)=(АВ)С; a(АВ)=(aА)В; (А+В)С=АС+ВС; ЕА=А; АВ¹ВА; АЕ=ЕА=А.

Деяния сложения и умножения на число над матрицами-столбцами и матрицами-строками (т.е. векторами) выполняются Некоторые сведения из алгебры матриц аналогично подходящим действиям над квадратными матрицами. Суммой 2-ух векторов и является вектор с координатами z1=x1+y1; z2=x2+y2; … ; zn=xn+yn; произведением вектора на число a - вектор .

Транспонированной матрицей размера n x m именуется матрица (размера n x m), приобретенная из матрицы А размера m x Некоторые сведения из алгебры матриц n оковём подмены строк надлежащими столбцами.

Характеристики операции транспонирования:

(АТ)Т=А; (А+В)Т=АТ+ВТ; (А×В)Т=ВТ×АТ.

Определителем третьего порядка именуется число

Характеристики определителя:

1) определитель не изменяется при транспонировании;

2) если одна из строк либо один из столбцов определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю;

3) при перестановке 2-ух Некоторые сведения из алгебры матриц строк либо 2-ух столбцов определитель меняет только символ;

4) определитель, содержащий две схожие строчки либо два схожих столбца, равен нулю;

5) если все элементы некой строчки либо столбца определителя помножить на число R¹0, то сам определитель умножится на это число;

6) определитель, содержащий две пропорциональные строчки, равен нулю;

7) если Некоторые сведения из алгебры матриц все элементы i-й строчки определителя n-го порядка представить в виде суммы 2-ух слагаемых: aij=bij+cij (i=1,2,…,n) то данный определитель равен сумме 2-ух определителей, у каких все строчки, не считая i-й, такие же, как и в данном определителе, а i-я строчка в одном из Некоторые сведения из алгебры матриц слагаемых состоит из частей bij, а в другом – из частей cij;

8) если одна из строк определителя представляет собой сумму каких-то других строк либо сумму произведений каких-то других строк определителя на число k, то определитель равен нулю;

9) определитель не поменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить Некоторые сведения из алгебры матриц надлежащие элементы другой строчки (столбца), умноженные на одно и то же число.

Квадратная матрица именуется оборотной по отношению к данной квадратной матрице, если её умножение как справа, так и слева на данную матрицу даёт единичную матрицу, другими словами:

А×А-1=А-1×А=Е

Квадратная матрица именуется неособенной (либо Некоторые сведения из алгебры матриц невырожденной), если её определитель не равен нулю. Если же определитель матрицы равен нулю, то матрица именуется особой (либо вырожденной).

Для того чтоб квадратная матрица А имела оборотную, нужно и довольно, чтоб определитель матрицы А был отличен от нуля, другими словами чтоб матрица А была неособенной.

Матрица, составленная из алгебраических Некоторые сведения из алгебры матриц дополнений и потом протранспонированная именуется союзной (либо присоединённой) по отношению к начальной матрице А и обозначается :

где d – определитель матрицы.

В общем виде для квадратной матрицы n-го порядка оборотная матрица рассчитывается по формулам:

другими словами элементы начальной и оборотной матриц связаны соотношением .

Для матрицы третьего порядка:

,


nekotorie-osobennosti-tehniki-ushivaniya-ran-v-chelyustno-licevoj-oblasti.html
nekotorie-osobennosti-vtorichnih-tekstov-i-obrazi-personazhej-v-intersemioticheskom-kontekste-na-primere-proizvedenij-o-uajlda-i-dzh-osten.html
nekotorie-paradoksi-teorii-otnositelnosti-referat.html